核磁谱图中的弛豫

本文翻译Hans J. Reich的Chem605课程"8.1 Relaxation in NMR Spectroscopy"

弛豫过程的理解对于核磁谱图测试和正确的解释有很大的帮助。对此我们需要考虑三点：

1. 在磁场下的核子自旋的       $\alpha$和       $\beta$状态能级裂分非常小，因此激发态的粒子数只比基态多一点（一般小于万分之一）。绝大部分核子弛豫（比如从激发态回到基态）是一个缓慢的过程，自旋为       $\frac{1}{2}$的核子的半衰期从0.1到100秒都有（一般电子弛豫或者振动跃迁时间尺度在毫秒，皮秒甚至飞秒量级）。如果核子弛豫不充分，就很容易使得核磁跃迁饱和（激发态和基态粒子数一样），减弱核磁信号质量，导致谱峰面积用于定量分析不准确。

2. 核磁谱线和高能量谱学方法比较显得异常尖锐和密集。Heisenberg不确定性导致谱线变宽（其实就是激发态的能量寿命，弛豫的速率）是核磁谱图的重要特征，同时也妨碍了我们对于谱图的测量和解释。如果弛豫特别快，那么谱线就会很宽，谱线精细结构（J耦合）没办法分辨，信号也会很难检测到甚至检测不到。

3. 弛豫时间对于许多多脉冲实验至关重要，特别是2D或者3D谱图。

    $T_1$和     $T_2$弛豫。一般有两种不同类型的弛豫，自旋-晶格（     $T_1$纵向弛豫，或者z方向上弛豫）和自旋-自旋（     $T_2$横向弛豫，或者x-y平面上弛豫）。     $T_1$弛豫描述在磁场下     $\alpha$和     $\beta$自旋状态的正则高斯粒子数分布的建立（重建）过程。     $T_2$指核子自旋退相干的过程。     $T_2$小于或者等于     $T_1$(R=弛豫速率，     $R_2=1/T_2$,     $R_2 \ge R_1$）因为磁化矢量在z方向上的恢复附带会导致x-y平面上的磁化矢量的减小。     $T_2$的大小决定了核磁信号的线宽--短     $T_2$意味着宽谱线（     $\nu_{1/2}=1/\pi T_2$，     $\nu_{1/2}$=半高宽）。核磁信号采样最大频率由     $T_1$确定--越短     $T_1$意味着磁化矢量恢复到平衡态越快，谱图可以在更短时间内重复累加。

核磁谱线变宽的来源--     $T_1$和     $T_2$弛豫

1. 仪器问题-调谐不匹配，核磁管问题（mis-shapen NMR tube）等等

2. 样品问题：

• 样品不均匀（混合不均匀，固体颗粒悬浮）

• 温度梯度（across sample）

• 顺磁干扰

3.       $T_1$弛豫（自旋晶格弛豫）：在Z方向上磁化矢量的增减过程。根据量子力学海森堡不确定原理可知由于自旋态固有寿命导致谱线有一个最小宽度（确切的说是由       $T_2$决定的）。对于绝大部分自旋为       $\frac{1}{2}$核子的       $T_2$差不多在0.2到50秒之间。

   $$\Delta E \Delta t = h/2\pi \\ h\delta \nu \delta t = h/2\pi \\ \nu_{1/2}/2 \ge 1/2\pi T_1 \\ \nu_{1/2} \ge 1/\pi T_1$$

   由于顺磁干扰导致峰变宽是一种比较特殊的       $T_1$展宽。

   将未磁化的样品放置到磁场中，自旋态       $\alpha$和       $\beta$将达到正态玻尔兹曼平衡过程，此刻有一个一阶的速率常数       $k=1/T_1$：       $M_z = M_{\infty}(1-e^{-t/T_1})$

或者施加一个     $90^o$脉冲，然后观察磁化矢量恢复回z方向：     $M_z = M_{\infty}(1-e^{-t/T_1})$

原子核极化取向自发弛豫过程几乎不会发生。     $T_1$弛豫是由于瞬态磁场（通常是由于分子运动产生）在拉莫进动频率下发生的。在分子转向速率（reorientation）和拉莫进动频率差不多情况下，     $T_1$弛豫最有效。室温下的低黏度液体的分子转动平均速率快拉莫进动速率的好几个数量级，所以只有一小部分分子运动在合适的频率，导致低黏度液体的弛豫时间比较长。而大分子或者高黏度液体分子的运动就慢很多，具有更有效的弛豫（     $T_1$比较短）。但是，在一些情况下，如果分子平均运动慢于     $\nu_0$那么     $T_1$就有可能再次变长（如图8.1-1）。

图8.1-1.     $T_1$和     $T_2$随着相关时间     $\tau_c$变化的情况。（摘自Bloembergen, E.M. Purcell, R.V. Pound "RelaxationEffects in Nuclear Magnetic Resonance Absorption" Physical Review 1948, 73, 679-746）

1.       $T_2$弛豫（自旋自旋弛豫）：磁化矢量在x，y方向上的增减过程。由不确定原理可以得出：

   $$\nu_{1/2} = 1/\pi T_2\\ T_2 \le T_1$$

   对于氢原子，       $T_2$一般在1到10秒，可以得出谱线半高宽如下：

   $$T_2 = 1 sec, \nu_{1/2} = 1/\pi = 0.3 Hz \\ T_2 = 10 sec, \nu_{1/2} = 1/10 \pi = 0.03 Hz$$

         $T_2$弛豫受到各种频率的瞬变磁场影响（通常是由于分子运动产生瞬变磁场）。但是       $T_2$随着分子转向运动速率变慢而变短（如图8.1-1）。

         $T_2$弛豫同样受到化学位移交换或者耦合常数（化学交换）的影响。由化学交换导致的线宽变化可以用来计算多种分子过程的交换速率。

图 8.1-2  核自旋对于90度脉冲响应的符号示意图。     $\alpha$和     $\beta$自旋态的量子数差别夸大显示。

反转恢复测试     $T_1$

    $T_1$测试。常规方法就是     $5T_1-\pi-\tau-\pi/2-FID$脉冲序列。首先核磁信号受到     $\pi$脉冲反转，接下来等待不同的时间间隔     $\tau$（图 8.1-3）。实验测量等待     $\tau$间隔后的回复信号，然后绘制出信号强度随     $\tau$变化的图。图8.1-4给出这个实验的一序列谱图。

图 8.1-3 反转回复测     $T_1$的脉冲序列。

图 8.1-4. 反转回复测     $T_1$的例子。摘自"13C NMR Spectroscopy, High Resolution Methods and Applications in Organic Chemistry and Biochemistry," E. Breitmaier and W. Voelter, Verlag Chemie, Weinheim, 1987, page 52

弛豫机理

自旋     $\frac{1}{2}$核子的自发     $T_1$弛豫（Spontaneous）是固有存在的，比如缺少外部干预的弛豫。但是     $T_1$弛豫的发生需要有在x，y方向上的磁场扰动。在拉莫进动频率（     $\nu_0$）下该扰动达到最大效果，所以可以得出     $T_1$弛豫其实和磁场强度有关的。

    $T_2$弛豫可以受到来自各个方向的扰动。

绝大部分的分子磁场扰动主要来源于分子运动（molecular motion）。在假设分子运动行为近视为各方向同性（spherically）下，我们可以定义一个相关时间     $\tau_c$来表征分子旋转1 rad（one radian）所需要的平均时间。在溶液状态下小分子的相关时间差不多在     $10^{-12}$s数量级（在粘度大的溶液中会更长）。在300 MHz核磁中氢的拉莫进动频率     $\nu_0 \approx 10^8$,分子量小于1000以下的绝大部分分子在有效的弛豫范围内都运动得非常快（如图8.1-1）。影响核子弛豫的分子运动有以下几种机制：临近核子的磁场直接作用（偶极偶极相互作用 DD），化学位移效应（化学位移各向异性 CAS），电场四级矩相互作用（QR）和J耦合的快速调制（SC）。除了分子运动，旋转跃迁同样也是磁场涨落干扰的来源之一（SR）。

底下列出主要的几种弛豫机制（尽量按照越来越重要来讲）。

1. 自旋转动（SR）。在快速旋转的分子（或者分子片段，比如甲基基团）上的电子产生的局域磁场。

   这个磁场强度随着分子碰撞导致的转动能级改变而改变。如果这个变化和拉莫进动频率相当，就会引起附近原子核弛豫。SR弛豫的相关时间并不是分子运动，而是转动量子态的寿命。

   典型特征有：

• 小分子或者大分子自由旋转部分没有其他有效的弛豫机制；

• 在高温下弛豫更快（       更短）。

• SR机制已经在甲基基团中，和在没有其他有效的弛豫机制的小分子的季碳都有观察到（比如       ）。同样的在小分子中的       和       观察到，比如       和       ，还有在自由的末端基团比如       ，这个基团没有直接连接到质子，没有来自DD弛豫和机构特性的CSA弛豫的作用。

• 这个机制会导致NOE信号的降低和损失(reduction and loss）。

2. 化学位移各向异性（CSA）。假如原子不处在正四面体或者八面体的对称中心，它在磁场中的化学位移与分子取向有关（因为它是一个张量）。比如乙烯（       $^{13}$C）乙炔（       $^{13}$C）和硝基苯（       $^{15}$N），以下是他们化学位移的范围：

   

   
   

   分子在溶液中是持续运动翻滚的，所以化学位移也是持续变化中的，主要是由于屏蔽效应的顺磁相是定向相关的。如果分子的翻滚频率合适就会引起弛豫。弛豫速率正比于磁旋比和磁场强度的平方，也正比于化学位移各向异性。这里的相关时间就是分子运动速率项。底下方程考虑分子为柱对称：

   $$R_{1(CSA)} = \frac{1}{T_{1(CSA)}} = \frac{2}{5} \gamma^2B_0^2(\sigma_{\parallel} - \sigma_{\perp})^2\tau_c$$

   典型特征有：

• 在氢去耦情况下这个弛豫会导致NOE信号减弱甚至完全消失；

• 这个机理不会发生氢原子上（化学位移各向异性太小），而且也只会在季碳上看到（比如醛酮化合物，除了乙醛和甲酸，sp3, sp2和sp季碳），但是       ,       ,       ,       和       等具有大化学位移范围的原子核差不多全部会受到CSA机制弛豫的。

• 此机制主要出现在有大的化学位移范围，或者具有较大的磁各向异性的化学键。如果原子正四面体，正八面体或者更高对称中心（       在       ，       在       中）并没有化学位移各向异性，所以它们的弛豫没有此机制。

• 该弛豫速率正比磁场强度的平方，在高磁场强度下更加重要。对于一些有大的化学位移范围的自旋为1/2原子核，谱峰会由于CSA弛豫而失去耦合信息。对于这样子的原子，场强越高的谱仪反而是越不好的。

  下面的1H谱图阐释了上面提到的最后一个特点。图中显示铂络合物中H2氢原子在90,250和400 MHz谱图。对于NMR不敏感的Pt原子化合物中所有的原子谱图峰模式为中心ddd裂分模式。两边比较弱小的峰为自旋1/2的       引起的卫星峰。注意到在90 MHz的谱仪上卫星峰几乎和中间峰一样尖锐。随着谱仪磁场强度的上升，卫星峰慢慢的变宽，到400 MHz以后很难分辨出卫星峰。如果场强更高，卫星峰将开始融合到中间峰里面去。这些变化是由于       的       弛豫受到的CSA机制影响随着磁场强度       快速增加引起的。



3. 四级矩弛豫（QR）。该效应只存在于自旋大于1/2的原子核，并且也只有不处在四面体或者八面体对称中心的原子核。自旋为1/2原子可以被认为具有球形的电荷分布，而自旋大于1/2的原子核的电荷分布为扁球形或者长球形体。在这样子的分子中电场梯度对四级矩原子核施加一个力矩。分子的震荡引起自旋量子态之间跃迁-相当于原子核与周围电子之间的“摩擦”，“四级矩耦合常数”为       $e^2Qq_z/h$. 这个效应的有效性严重依赖于Q。如果 Q 太小（比如氘2H和6Li，两者I=1）它们情况就和自旋1/2差不多（因为相当于只有很小偏差的球对称情况），如果Q很大，原子核将会只有很短的       $T_1$，核磁信号将很小很难检查到，自旋-自旋的裂分将不会被检查到。

   $$R_{QR} = \frac{1}{T_{1(QR)}} = \frac{3}{10}\pi^2\frac{2I+3}{I^2(2I-1)}(1+\frac{\eta^2}{3})(\frac{e^2Qq_z}{h})^2\tau_c$$

         $\eta=(q_yy-q_xx)/q_zz$是电场不对称性；

   Q是四级矩（对于自旋1/2为零）；

         $q_z$是电场梯度（四面体对称为零）；

         $\tau_c$是分子运动的相关时间。

   对于四面体或者八面体对称的分子，由于电场梯度比较小甚至为零，       $T_1$数值足够长可以获得比较好的图谱（比如，       $^{35}Cl$的       $ClO_4^-$和       $^{33}S$的       $SO_4^{-2}$，       $R_2SO_2$）。

   
   

   然后当Q足够大时候，就算原子核处在比较对称的环境中也表现为很快的QR弛豫。比如球对称的碘离子（I=5/2）拥有比较大的四级矩（Q=0.79），在很多溶剂中由于溶剂瞬时不对称的原因导致它的谱图线宽大于1200Hz，甚至会超过50000Hz。

   原子核的四级矩弛豫同样会对周围的原子核有作用，由于快速的弛豫导致原子核之间的J耦合变宽甚至完全消失。这个效应在14N-X和11B-X基团中很常见。这样子的展宽准确说应该是       $T_2$作用在X原子核上（自旋量子态之间的交换）。由于这种       $T_2$展宽，所以很难检查到直接与氮或者硼相连的碳或者氢。C，Br和I的快速四级矩弛豫是我们常看到与它们相连的碳或者氢的耦合信息（QR如此之快这些原子都只能自我耦合了self-decoupled）。

   典型的特点有：

   底下7Li和6Li核磁谱图解释了四级矩常数Q和对称性环境的作用。汞盐化合物中的锂离子被THF四面体溶剂化，显示出比较锐利的7Li谱峰（宽度4 Hz），但是PhLi二聚体谱峰就更宽（25 Hz），而单体由于比二聚体更加不对称，表现更宽（60 Hz）。由于6Li的Q比7Li小很多，对于单体（3.5 Hz）和二聚体（2.2 Hz）的谱峰就锐利很多。在6Li谱图中有一小部分谱峰展宽是由于单体和二聚体之间的动力学交换导致的，这个是单体谱宽比二聚体比较宽的原因(Reich,Green, Medina, Goldenberg, Gudmundsson, Dykstra, Phillips, J. Am. Chem. Soc. B, 120, 7201 (Reich, Green,Medina, Goldenberg, Gudmundsson, Dykstra, Phillips, J. Am. Chem. Soc. 1998, 120, 7201; Reich, Green, Phillips,J. Am. Chem. Soc. 1991, 113, 1414)。用WINDNMR模拟计算的谱宽宽度。

   

   
   

• 只出现在自旋大于1/2；

• 在溶液中温度越低反而越快（better match       and motion）；

• 原子核里存在一个固有（瞬态）电场梯度（QR在四面体或者八面体对称的原子核就比较小）；

• 在大的电场四级矩原子核中，该机制导致谱宽展宽到kHz量级，看不到和其他原子核的耦合信息；

• 在去耦氢情况下，绝大部分的四级矩原子检查不到NOE效应。

1. 标量弛豫（SR）。如果四级矩原子核X具有快速弛豫，那么来自它对于核子Y的Scalar（J）也是一种弛豫的影响机制。Y会受到由快速变化的X产生涨落的磁场的影响，当X和Y的拉莫进动频率比较接近时（ 比如       $\omega_X - \omega_Y$要很小）。

   $$R_{1(SC)}=\frac{1}{T_{1(SC)}}=\frac{8\pi^2J^2}{3} I(I+1) \frac{\tau_{SC}}{1+(\omega_X-\omega_Y)^2\tau_{SC}^2}$$

         $R_{SC}$Y(自旋1/2) 受到X（四级矩）的标量弛豫速率

   J X和Y的耦合常数

         $\tau_{SC}$相关时间

         $\omega_X$,       $\omega_Y$X和Y的拉莫进动频率

   I 为X的自旋

   由于需要两个原子核的拉莫进动频率接近这个严苛的条件，这个效应其实不常见。含溴的轴向碳原子具有非比寻常短的       $T_1$，认为是收到SC弛豫影响。因为在200 MHz核磁中，C13的拉莫进动频率为50.28 MHz，而Br79（I=3/2）为50.18 MHz。

   
   

   注意当       $T_{1(X)}$的数值在       $1/(\pi J_{C-X})$左右时，SC的       $T_1$弛豫过程与使得Y受到部分联合J耦合（X和Y）变宽的过程非常不同（该过程经常在自旋1/2核子和14N，11B相连接中看到）。该过程导致谱图变宽是由于       $T_2$过程（swapping of spin state）。

   

2. 偶极偶极弛豫（DD）。原子核的耦合有两种类型：scalar（常量，J）耦合是由于电子云极化引起的。直接的偶极偶极耦合作用强度很大（通常有kHz），主要取决于原子核之间的距离，还有两原子核矢量与磁场的角度关系。这个耦合在溶液中分子快速运动震荡平均掉，看不到。然而这个偶极偶极相互作用在溶液中会随着分子震动持续改变，一并也改变它与分子连线矢量关系。这样子在每个原子核周围引起磁场的涨落。在一定程度上这样子的涨落也会引起拉莫进动频率的改变，进而引起原子核弛豫。由于氢原子具有最高的磁极化强度，它收到DD弛豫影响应该是最大的。所以DD弛豫是氢原子弛豫的主要因素，影响相邻连接的氢原子或者直接连接的碳原子。

   DD弛豫是一种分子运动（准确说是分段的）。在分子快速运动区域（非常窄区域）接临着氢原子的X核的DD弛豫公式为：

   $$R_{1(DD)} = \frac{1}{T_{1(DD)}} = \gamma^2 \gamma^2_H (\frac{h}{2\pi})^2 \tau_c \sum\frac{1}{r_{HX}^6}$$

         $\tau_c$是相关时间（H-X矢量转动1 rad的平均时间）

         $\gamma_X$,       $\gamma_H$磁旋比

         $r_{HX}$H和X核子之间的距离

   DD弛豫表现出很强的距离依赖性，一般来说对于直接相连的核子表现最为明显。通常谱仪的频率下，小分子（分子量小于1000）的tumbling非常快（       $\tau_c$非常短）。运动越快的分子或者分子的部分，DD弛豫影响就会小一些，       $T_1$就会更长。但是大分子（比如蛋白）的运动就比较慢（       $\tau_c$比较长），分子运动与       $T_1$关系反而相反，运动越快弛豫越有效。

   对于       $^{13}C$的核磁谱图，有连接氢的碳原子的偶级弛豫是主要是的弛豫过程。而季碳就拥有很长的弛豫时间（因此季碳在正常的采谱条件下达到饱和而信号比较弱）。CH基团的       $T_1$会比较短，CH2还会短个两倍。这个效应可以从adamantane（金刚烷）和chlolesteryl chloride（胆固醇氯化物）的环上面看到。侧链和甲基基团具有独立（更快）的运动，也就具有更长的       $T_1$。

   

   
   

运动的各向异性: 长扁性的分子在溶液中的运动并不会各向均匀（比如，沿着分子不同轴旋转的     $\tau_c$也不同），所以在长轴上面的碳原子的弛豫时间将会和没有在轴上的原子有加大的不同。diphenyldiacetylene（二苯二乙酰）就是一个不错的例子。对位的碳原子的弛豫时间很短（1.1 s），而临位和间位的碳原子     $T_1$几乎是五倍之多。这个是因为沿长轴转动更加快速，导致轴外的碳原子的弛豫没有那么快。对位碳原子只有在绕着垂直于炔烃方向转动时候才会改变它与它上面的氢的关系，这是一个很缓慢的过程。这个效应也可以用于该碳原子的指认。需要注意的是，中间炔烃碳具有很长的弛豫时间，主要是由于远离氢原子导致的。

分段运动: 分子的不同部分会有不同的相关时间，即不同的     $T_1$值。比如1-bromodecane（溴癸），沿着链的     $T_1$数值还是比较一致，除了末端的局域构象变化比较快的原子的弛豫比较长。然而1-decanol（癸醇），     $T_1$数值随着靠近羟基越来越短，可能是由于分子末端的羟基形成了分子间氢键。在chlolesteryl chloride（胆固醇氯化物）中也可以看到分段运动效应，所有的环上CH的     $T_1$差不多为0.5 s，CH2为0.25 s，分子的这部分像一个整体在运动。然而，侧链的     $T_1$数值就变得更长，对于最后一个CH2就上升为0.67 s，最后一个CH到了1.8 s，主要是因为侧链更加柔性，因此具有更短的相关时间。

甲基表现为更加多变的     $T_1$数值。甲基上有三个直接连接的氢，因此可能认为     $T_1$应该为CH的三分之一。然而除非甲基受到很大的空间位阻，正常甲基的局部运动要远远快于其他的原子，因此甲基上的碳的偶极偶极弛豫比较少（DD）。然而该弛豫会被SR弛豫弥补，因为SR弛豫在更高的转动速率下更加有效。

受氧气影响弛豫。氧气的未配对电子通过耦极相互作用引起氢和碳原子的弛豫。此效应虽然不大，但是很容易从phenylacetylene（苯乙炔）中的季碳中观察到，比如出去溶液中的氧气，ipso碳的     $T_1$从56 s增加到107 s。出去溶解氧可以通过真空技术，更简单点直接用氮气或者氩气冒泡催一分钟或者几分钟就可以了。正常溶解氧气主要影响     $T_1$在50 s到100 s的水平的原子。对于绝大部分碳原子的     $T_1$都小于20 s，溶解氧对于这些原子影响不大。只有比较长的     $T_1$（远远大于20 s）才会比较明显的收到氧气影响。

有些实验需要比较长的     $T_1$，此时除去溶解氧就成为很关键了（比如多脉冲实验、2D实验），还有就是当需要最大化氢氢耦极耦极弛豫的时候（比如NOE实验）。